Ellipsen

Details zu den verschiedenen Konstruktionsmöglichkeiten von Ellipsen werden später nachgereicht.

Im Video unten werden sehr ausführlich (ca. 35 Minuten) die mathematischen Hintergründe beschrieben.

 

Vorerst ein interessantes Werkzeug, um elliptische Holzplatten herzustellen (0:40):


Grundlagen, Definitionen

Video: Einige Grundlagen (nur die ersten 3 Minuten):

1. Wie definiert man eine Ellipse?

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte einer Ebene, deren Abstände von zwei festen Punkten F1 und F2 (Brennpunkte) in Summe konstant gleich 2a (grün - doppelte Hauptachsenlänge) sind.

2. Punkte und Strecken

M Mittelpunkt
F1, F2 Brennpunkte

 

S1 bis S2  Hauptscheitel 

S3 bis S4 Nebenscheitel

 

a Hauptachsenlänge
b Nebenachsenlänge

e lineare Exzentrizität

 

Tipp: Lies dir jetzt noch einmal die Definition durch und versuche, diese mit Hilfe des Bildes zu erklären.

 

Frage: Welcher Zusammenhang besteht zwischen a, b und e? Oder anders ausgedrückt: Wenn du a und b weißt, kannst du dann e berechnen? Wenn du a und e weißt, kannst du dann b berechnen? Und was bringt es, wenn man e berechnen kann?

Ellipsenkonstruktionen

Hier findet man 11 Möglichkeiten, wie man Ellipsen konstruieren kann.

a) Die Gärtnermethode (0:53)

 

b) "Einfache Methode" (2:20 bzw. 0:30)

 

c) Scheitelkrümmungskreise (2 Minuten)

 

d) Papierstreifenmethode

[derzeit nicht als Video verfügbar]

 

e) Umgekehrte Papierstreifenmethode (1 Minute)

 

Konstruktion mit GeoGebra: (5:40)


Ellipse mathematisch betrachtet

Video (ca. 35 Minuten)

00:00 Die 4 Kegelschnitte (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel)

03:30 Optische Möglichkeiten, Ellipsen zu erzeugen

06:30 Grundlagen (Brennpunkte, a, Gärtnermethode)

09:15 Kegelschnitte (Wiederholung, Vertiefung)

12:00 Kreis mit Pythagoras (x²+y²=r)

16:45 Ellipsengleichung (x²/a²+y²/b²=1) 


Anwendungen - oder "Wo findet man Ellipsen?"

Nicht nur Mathematiker, Tischler und Gärtner kreieren Ellipsen. Auch die Planten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um unsere Sonne.

Dies erkannte der Linzer Astronom und Physiker/Naturforscher Johannes Kepler in den Jahren 1609-1618. Details zu den sogenannten Keplergesetzen findest du einfach erklärt hier oder ausführlich auf Wikipedia.

Auch die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte.

 

Wer sich mit den Ohren im Brennpunkt einer Ellipse befindet, hört sogar sehr leise Geräusche aus dem anderen Brennpunkt, man nennt dies Flüstergewölbe. Der Schall konzentriert sich im Brennpunkt.

 

Dies nutzt man auch bei der Nierensteinzertrümmerung durch Ultraschallwellen. Auch hier konzentriert man die Schallwellen so, dass der Stein (meist nur wenige mm klein, jedoch mitunter extrem schmerzhaft) zerbröselt und vom Körper abgebaut werden kann.

 

Auch manche Laser nutzen innen Reflektoren mit elliptischen Eigenschaften.